پاسخ فعالیت صفحه 33 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 33 ریاضی دهم - بخش ۱ سلام دانش‌آموزان عزیز! این فعالیت به شما کمک می‌کند تا درک عملی از نسبت‌های مثلثاتی داشته باشید و ببینید چطور این نسبت‌ها در عمل ثابت هستند. ### **گام ۱: رسم و محاسبه تقریبی** 1. **رسم زاویه:** یک زاویه $A = 50^\circ$ با استفاده از نقاله رسم کنید. 2. **تشکیل مثلث قائم‌الزاویه:** یک نقطه دلخواه $C$ روی یکی از اضلاع زاویه $A$ انتخاب کنید. از $C$ عمودی بر ضلع دیگر زاویه رسم کنید و محل برخورد را $B$ بنامید. مثلث قائم‌الزاویه‌ی $\triangle ABC$ تشکیل می‌شود که $\hat{B} = 90^\circ$. 3. **اندازه‌گیری:** طول اضلاع $BC$ (مقابل)، $AB$ (مجاور) و $AC$ (وتر) را با خط‌کش، با دقت اندازه‌گیری کنید. (برای دقت بالاتر، می‌توانید مثلث بزرگ‌تری رسم کنید.) **مثال تقریبی (فرض کنیم اندازه‌گیری‌های شما به صورت زیر باشد):** * $\text{وتر } AC \approx 10 \text{ cm}$ * $\text{ضلع مقابل } BC \approx 7.6 \text{ cm}$ * $\text{ضلع مجاور } AB \approx 6.4 \text{ cm}$ **محاسبات تقریبی:** * $$\sin 50^\circ = \frac{BC}{AC} \approx \frac{7.6}{10} = \mathbf{0.76}$$ * $$\cos 50^\circ = \frac{AB}{AC} \approx \frac{6.4}{10} = \mathbf{0.64}$$ * $$\tan 50^\circ = \frac{BC}{AB} \approx \frac{7.6}{6.4} \approx \mathbf{1.19}$$ ### **گام ۲: محاسبه دقیق با ماشین حساب و مقایسه** مقادیر واقعی (دقیق) را با استفاده از ماشین حساب به دست می‌آوریم: * $$\sin 50^\circ \approx \mathbf{0.766}$$ * $$\cos 50^\circ \approx \mathbf{0.643}$$ * $$\tan 50^\circ \approx \mathbf{1.192}$$ **مقایسه:** همان‌طور که می‌بینید، مقادیری که با دقت اندازه‌گیری و تقسیم به دست آوردید (مثلاً $0.76$) **بسیار نزدیک** به مقادیر واقعی ماشین حساب ($0.766$) هستند. این نشان می‌دهد که نسبت‌های مثلثاتی برای یک زاویه‌ی معین، **یک عدد ثابت و مشخص** هستند و به اندازه مثلث بستگی ندارند.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 33 ریاضی دهم - بخش ۲ این بخش بسیار مهم است! اینجا شما فرمول جدید و کاربردی برای **محاسبه مساحت مثلث** با استفاده از **سینوس** زاویه‌ی بین دو ضلع را یاد می‌گیرید. ### **تحلیل و پاسخ بخش (الف)** در مثلث $ABC$، ارتفاع $AH$ بر ضلع $BC$ عمود شده است. حالا به مثلث قائم‌الزاویه‌ی $\triangle ABH$ نگاه می‌کنیم که $\hat{H} = 90^\circ$. * زاویه‌ی مورد نظر: $\hat{B} = 50^\circ$ * **وتر** در $\triangle ABH$: ضلع $AB$ که طول آن $6$ متر است. * **ضلع مقابل** به زاویه $50^\circ$: ارتفاع $AH$ از تعریف سینوس استفاده می‌کنیم: $$\sin 50^\circ = \frac{\text{ضلع مقابل}}{\text{وتر}} = \frac{AH}{AB}$$ **تکمیل جاهای خالی (الف):** $$\sin 50^\circ = \frac{AH}{\text{وتر}} = \frac{AH}{\mathbf{6}} \Rightarrow AH = \mathbf{6 \sin 50^\circ}$$ از آنجایی که $\sin 50^\circ \approx 0.76$، مقدار $AH$ را محاسبه می‌کنیم: $$AH = 6 \times 0.76 = \mathbf{4.56 \text{ متر}}$$ ### **تحلیل و پاسخ بخش (ب)** حالا با داشتن ارتفاع $AH$، مساحت کل مثلث $ABC$ را با فرمول معمولی مساحت محاسبه می‌کنیم. * **قاعده:** $BC$ که طول آن $8$ متر است. * **ارتفاع:** $AH \approx 4.56 \text{ متر}$ **فرمول مساحت:** $$\text{مساحت } \triangle ABC = \frac{1}{2} \times \text{قاعده} \times \text{ارتفاع} = \frac{1}{2} \times BC \times AH$$ **تکمیل جاهای خالی (ب):** $$\text{مساحت } \triangle ABC = \frac{1}{2} \times BC \times AH = \frac{1}{2} \times \mathbf{8} \times \mathbf{4.56} \approx \mathbf{18.24}$$ $$\text{مساحت } \triangle ABC \approx 18.24 \text{ متر مربع}$$ **نکته کلیدی:** اگر دقت کنید، ما از همان ابتدا می‌توانستیم ارتفاع ($AH$) را با استفاده از $6 \sin 50^\circ$ جایگذاری کنیم و به فرمول نهایی مساحت برسیم: $$\text{مساحت} = \frac{1}{2} \times BC \times (AB \sin B)$$ $$\text{مساحت} = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 \times \sin 50^\circ$$ $$\text{مساحت} = 24 \times 0.76 = 18.24$$ این دقیقاً همان **فرمول مساحت مثلث با سینوس** است که در بخش بعدی اثبات می‌شود!

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 33 ریاضی دهم - بخش ۳ اینجا می‌خواهیم **فرمول مساحت مثلث با سینوس** را به صورت کلی و رسمی اثبات کنیم. این فرمول، ابزاری بسیار قدرتمند برای محاسبه مساحت هر نوع مثلثی است، نه فقط مثلث قائم‌الزاویه! ### **اثبات فرمول مساحت** **فرض:** مثلث $ABC$ با طول اضلاع $c$ (ضلع $AB$) و $a$ (ضلع $BC$) و زاویه‌ی بین آن‌ها $\hat{B}$ داده شده است. **هدف:** اثبات: $$\text{مساحت } \triangle ABC = \frac{1}{2} \times AB \times BC \times \sin B$$ **گام ۱: رسم ارتفاع** برای محاسبه مساحت با فرمول پایه (نصف قاعده در ارتفاع)، ارتفاع $h$ را از رأس $A$ بر ضلع $BC$ (قاعده) رسم می‌کنیم. پای ارتفاع را $H$ می‌نامیم. پس $AH = h$. **فرمول پایه:** $$\text{مساحت } \triangle ABC = \frac{1}{2} \times \text{قاعده} \times \text{ارتفاع} = \frac{1}{2} \times BC \times AH = \frac{1}{2} \times a \times h \quad (I)$$ **گام ۲: یافتن ارتفاع بر حسب سینوس** به مثلث قائم‌الزاویه‌ی $\triangle ABH$ نگاه می‌کنیم (که $\hat{H} = 90^\circ$ است). در این مثلث، برای زاویه‌ی $\hat{B}$ داریم: * **ضلع مقابل:** $AH = h$ * **وتر:** $AB = c$ با استفاده از تعریف **سینوس**: $$\sin B = \frac{\text{ضلع مقابل}}{\text{وتر}} = \frac{AH}{AB} = \frac{h}{c}$$ با مرتب‌سازی این رابطه، **ارتفاع** را بر حسب سینوس و ضلع $c$ به دست می‌آوریم: $$h = c \times \sin B$$ **گام ۳: جایگذاری در فرمول مساحت** مقدار $h = c \sin B$ را در فرمول مساحت پایه (رابطه I) جایگذاری می‌کنیم: $$\text{مساحت } \triangle ABC = \frac{1}{2} \times a \times h$$ $$\text{مساحت } \triangle ABC = \frac{1}{2} \times a \times (c \sin B)$$ $$\text{مساحت } \triangle ABC = \frac{1}{2} \times a \times c \times \sin B$$ با جایگزینی $a = BC$ و $c = AB$، فرمول اثبات می‌شود: $$\text{مساحت } \triangle ABC = \frac{1}{2} \times BC \times AB \times \sin B$$ **نتیجه‌گیری:** این فرمول نشان می‌دهد که مساحت هر مثلث برابر است با **نصف حاصل‌ضرب طول دو ضلع در سینوس زاویه‌ی بین آن‌ها**.